РЕШУ ОЛИМП — математика

Задания

Тип 0 № 1170 Добавить в вариант

Олимпиада школьников Физтех, 10 класс, 2 тур (заключительный), 2018 год

Классификатор: Задачи с параметрами. Графики

Даны две линейные функции f(x) и g(x) такие, что графики $y = f левая круглая скобка x правая круглая скобка$ и $y= g левая круглая скобка x правая круглая скобка$   — параллельные прямые, не параллельные осям координат. Известно, что график функции $y = левая круглая скобка f левая круглая скобка x правая круглая скобка правая круглая скобка в квадрате$ касается графика функции $y = минус 8g левая круглая скобка x правая круглая скобка .$ Найдите все значения A такие, что график функции $y = левая круглая скобка g левая круглая скобка x правая круглая скобка правая круглая скобка в квадрате$ касается графика функции $y = Af левая круглая скобка x правая круглая скобка .$

Решение. Пусть $f левая круглая скобка x правая круглая скобка =a x плюс b$ и $g левая круглая скобка x правая круглая скобка =a x плюс c,$ где $a не равно q 0 .$ Касание графиков $y= левая круглая скобка f левая круглая скобка x правая круглая скобка правая круглая скобка в квадрате$ и $y= минус 8 g левая круглая скобка x правая круглая скобка$ эквивалентно тому, что уравнение $левая круглая скобка f левая круглая скобка x правая круглая скобка правая круглая скобка в квадрате = минус 8 g левая круглая скобка x правая круглая скобка$ имеет ровно одно решение. Получаем

$левая круглая скобка a x плюс b правая круглая скобка в квадрате = минус 8 левая круглая скобка a x плюс c правая круглая скобка равносильно a в квадрате x в квадрате плюс 2 a левая круглая скобка b плюс 4 правая круглая скобка x плюс b в квадрате плюс 8 c=0 .$ $левая круглая скобка a x плюс b правая круглая скобка в квадрате = минус 8 левая круглая скобка a x плюс c правая круглая скобка равносильно$
$равносильно a в квадрате x в квадрате плюс 2 a левая круглая скобка b плюс 4 правая круглая скобка x плюс b в квадрате плюс 8 c=0 .$

Четверть дискриминанта этого уравнения равна

$a в квадрате левая круглая скобка b плюс 4 правая круглая скобка в квадрате минус a в квадрате левая круглая скобка b в квадрате плюс 8 c правая круглая скобка =8 a в квадрате левая круглая скобка 2 плюс b минус c правая круглая скобка ,$ $a в квадрате левая круглая скобка b плюс 4 правая круглая скобка в квадрате минус$
$минус a в квадрате левая круглая скобка b в квадрате плюс 8 c правая круглая скобка =8 a в квадрате левая круглая скобка 2 плюс b минус c правая круглая скобка ,$

откуда $b минус c= минус 2.$

Аналогично, касание графиков $y= левая круглая скобка g левая круглая скобка x правая круглая скобка правая круглая скобка в квадрате$ и $y=A f левая круглая скобка x правая круглая скобка$ означает, что уравнение $левая круглая скобка g левая круглая скобка x правая круглая скобка правая круглая скобка в квадрате =A f левая круглая скобка x правая круглая скобка$ имеет единственное решение. Это уравнение равносильно следующим:

$левая круглая скобка a x плюс c правая круглая скобка в квадрате =A левая круглая скобка a x плюс b правая круглая скобка равносильно a в квадрате x в квадрате плюс a левая круглая скобка 2 c минус A правая круглая скобка x плюс c в квадрате минус A b=0 .$ $левая круглая скобка a x плюс c правая круглая скобка в квадрате =A левая круглая скобка a x плюс b правая круглая скобка равносильно$
$равносильно a в квадрате x в квадрате плюс a левая круглая скобка 2 c минус A правая круглая скобка x плюс c в квадрате минус A b=0 .$

Дискриминант равен

$D=a в квадрате левая круглая скобка 2 c минус A правая круглая скобка в квадрате минус 4 a в квадрате левая круглая скобка c в квадрате минус A b правая круглая скобка =a в квадрате A левая круглая скобка A минус 4 c плюс 4 b правая круглая скобка .$ $D=a в квадрате левая круглая скобка 2 c минус A правая круглая скобка в квадрате минус 4 a в квадрате левая круглая скобка c в квадрате минус A b правая круглая скобка =$
$=a в квадрате A левая круглая скобка A минус 4 c плюс 4 b правая круглая скобка .$ $D=$
$=a в квадрате левая круглая скобка 2 c минус A правая круглая скобка в квадрате минус 4 a в квадрате левая круглая скобка c в квадрате минус A b правая круглая скобка =$
$=a в квадрате A левая круглая скобка A минус 4 c плюс 4 b правая круглая скобка .$

Он обращается в ноль при $A=0$ и $A=4 c минус 4 b=8 .$

Ответ: $A=8,$ $A = 0.$

Критерии проверки:

Найдено значение $A=0$  — 1 балл.

Найдено значение A, отличное от нуля — 4 балла.

При исследовании случая $A не равно q 0$ найдена константа $f левая круглая скобка x правая круглая скобка минус g левая круглая скобка x правая круглая скобка ,$ и других продвижений в этом случае нет — 3 балла за этот случай.

Ответ: $A=8,$ $A = 0.$

1170

$A=8,$ $A = 0.$

Олимпиада: Олимпиада школьников Физтех

Класс: 10

Тур: 2 тур (заключительный)

Классификатор: Задачи с параметрами. Графики

Год: 2018

Ключ

№ п/п	№ задания	Ответ
1	1170	$A=8,$ $A = 0.$