РЕШУ ОЛИМП, математика: задания, ответы, решения

Задания

Версия для печати и копирования в MS Word

Тип 0 № 1150 Добавить в вариант

Уравнение $x в квадрате плюс ax плюс 5=0$ имеет два различных корня x₁ и x₂; при этом

$x_1 в квадрате плюс дробь: числитель: 250, знаменатель: 19x_2 в кубе конец дроби =x_2 в квадрате плюс дробь: числитель: 250, знаменатель: 19x_1 в кубе конец дроби .$

Найдите все возможные значения

Спрятать решение

Решение.

Решение. Для существования корней уравнения его дискриминант должен быть положителен, откуда $a в квадрате минус 20 больше 0 .$ При этом условии по теореме Виета $x_1 плюс x_2= минус a$ и $x_1 x_2=5 .$ Тогда

$x_1 в квадрате плюс x_1 x_2 плюс x_2 в квадрате = левая круглая скобка x_1 плюс x_2 правая круглая скобка в квадрате минус x_1 x_2=a в квадрате минус 5 .$

Преобразуем данное равенство:

$x_1 в квадрате минус x_2 в квадрате плюс дробь: числитель: 250, знаменатель: 19 конец дроби умножить на дробь: числитель: x_1 в кубе минус x_2 в кубе , знаменатель: x_1 в кубе x_2 в кубе конец дроби =0 равносильно левая круглая скобка x_1 минус x_2 правая круглая скобка левая круглая скобка x_1 плюс x_2 правая круглая скобка плюс дробь: числитель: 250 левая круглая скобка x_1 минус x_2 правая круглая скобка левая круглая скобка x_1 в квадрате плюс x_1 x_2 плюс x_2 в квадрате правая круглая скобка , знаменатель: 19 левая круглая скобка x_1 x_2 правая круглая скобка в кубе конец дроби =0 .$ $x_1 в квадрате минус x_2 в квадрате плюс дробь: числитель: 250, знаменатель: 19 конец дроби умножить на дробь: числитель: x_1 в кубе минус x_2 в кубе , знаменатель: x_1 в кубе x_2 в кубе конец дроби =0 равносильно$
$равносильно левая круглая скобка x_1 минус x_2 правая круглая скобка левая круглая скобка x_1 плюс x_2 правая круглая скобка плюс дробь: числитель: 250 левая круглая скобка x_1 минус x_2 правая круглая скобка левая круглая скобка x_1 в квадрате плюс x_1 x_2 плюс x_2 в квадрате правая круглая скобка , знаменатель: 19 левая круглая скобка x_1 x_2 правая круглая скобка в кубе конец дроби =0 .$

Поскольку корни различны, $x_1 минус x_2 не равно q 0 .$ Разделив обе части на $x_1 минус x_2$ и подставляя указанные выше значения, получаем

$минус a плюс дробь: числитель: 250, знаменатель: 19 конец дроби умножить на дробь: числитель: a в квадрате минус 5, знаменатель: 125 конец дроби =0 равносильно 2 a в квадрате минус 19 a минус 10=0,$