PDF-версии: 
а) Решите неравенство 
б) Решите уравнение 
в) На сторонах угла величиной 
с вершиной в точке A на расстоянии 4 друг от друга лежат точки K и L. Пусть M — точка пересечения восстановленных в точках K и L перпендикуляров к соответствующим сторонам угла. Найдите расстояние от M до A.
г) Сколько сторон имеет сечение куба 
плоскостью, проходящей через точки 
и 
которые делят эти отрезки в, соответственно, отношениях 
и 
(считая от вершины, указанной первой)?
Решение. а) Решите неравенство
Ясно что 
и 
не подходят в неравенство. При прочих x можно домножить неравенство на 
и получить
У многочлена в левой части есть корень 
поэтому многочлен в левой части раскладывается на множители, один из которых равен 
Выделим его
У второго множителя левой части есть корень 
поэтому он раскладывается на множители, один из которых равен 
Выделим его
Дискриминант последнего множителя равен 
поэтому он всегда положителен. Сократив его, получим 
откуда 
или 
Окончательно, учитывая условия 
и 
получаем 
Ответ: 
б) Решите уравнение
Обозначим 
Тогда 
и уравнение примет вид
Если 
то 
и при этом условии можем возвести в квадрат, получим
При 
подходит любое 
При прочих a можно сократить на 
получим
заметим корень с другим знаком все равно не подходит. Очевидно 
поэтому такой корень подходит.
Если 
то 
и при этом условии можем возвести в квадрат, отсюда
Можно сократить на 
тогда 
При 
это невозможно (правая часть неположительная, а левая положительна). При 
получим
заметим корень с другим знаком все равно не подходит. Очевидно 
при условии 
то есть 
Итак, такой корень подходит при 
при прочих отрицательных a нет корней.
Наконец при 
уравнение сводится к 
то есть
Теперь можно записать ответ, дорешав уравнения 
в случаях 
Во всех случаях 
при нет корней; при 
и 
при 
при 
нет корней; при 
при 
и 
при 
Ответ: 
при 
при 
при 
при 
в) На сторонах угла величиной с вершиной в точке A на расстоянии 4 друг от друга лежат точки K и L. Пусть M — точка пересечения восстановленных в точках K и L перпендикуляров к соответствующим сторонам угла. Найдите расстояние от M до A.
Обозначим 
тогда
Тогда по теореме синусов для треугольника KAL получаем 
откуда 
Аналогично по теореме синусов для треугольника MKL получаем 
Тогда по теореме Пифагора получаем
Ответ: 
г) Сколько сторон имеет сечение куба плоскостью, проходящей через точки и которые делят эти отрезки в, соответственно, отношениях и (считая от вершины, указанной первой)?
Обозначим ребро куба за 
тогда 
и 
Отметим кроме того точку 
для которой 
Тогда 
и 
- параллелограмм (его стороны 
и AK равны и параллельны), поэтому 
и 
Далее, 
и 
поэтому 
—
и 
Из этого получаем, что 
и 
поэтому точки K, L, M, D лежат в одной плоскости (и образуют там вершины параллелограмма). Этот параллелограмм и будет сечением куба, поэтому сечение имеет 4 стороны.
(не сошлось с ответом!)
Ответ: Пять сторон.
| За каждый из четырех пунктов сюжета выставляется одна из следующих оценок: + (3 балла), ± (2 балла), ∓ (1 балл), − (0 баллов) Максимум за сюжет 12 баллов. При этом необходимо руководствоваться следующим. | |
| Критерии оценивания выполнения заданий | Баллы |
|---|---|
| Верное и полное выполнение задания | 3 |
| Ход решения верный, решение доведено до ответа, но допущен один недочет | 2 |
| Ход решения верный, решение доведено до ответа, но допущено два недочета или одна грубая ошибка | 1 |
| Остальные случаи | 0 |
| К недочетам относятся, например: описки, неточности в использовании математической символики; погрешности на рисунках, недостаточно полные обоснования; неточности в логике рассуждений при сравнении чисел, доказательстве тождеств или неравенств; вычислительные ошибки, не повлиявшие принципиально на ход решения и не упростившие задачу, если задача не являлась вычислительной; замена строго знака неравенства нестрогим или наоборот; неверное присоединение либо исключение граничной точки из промежутка монотонности и аналогичные. Грубыми ошибками являются, например: потеря или приобретение постороннего корня; неверный отбор решения на промежутке при правильном решении в общем виде; вычислительная ошибка в задаче на вычисление; неверное изменение знака неравенства при умножении на отрицательное число, логарифмировании или потенцировании и т. п. | |
при при при при Пять сторон. при при при при Пять сторон.