РЕШУ ОЛИМП — математика

Задания

а)  Найдите все треугольники, длины сторон и величины углов которых образуют арифметические прогрессии.

б)  Верно ли, что для всякой арифметической прогрессии из четырех положительных чисел существует выпуклый четырехугольник, длинами сторон которого являются эти числа?

в)  Найдите все четырехугольники, длины сторон и углы которых (взятые в циклических порядках) образуют арифметические прогрессии.

Решение. а)  Только равносторонние треугольники. Поскольку сумма углов треугольника равна $Пи ,$ то из того, что они образуют арифметическую прогрессию, следует, что средний из них равен $дробь: числитель: Пи , знаменатель: 3 конец дроби .$ Если a  — длина стороны, противоположной этому углу, то длины остальных сторон треугольника  — $a\pm d.$ По формуле косинусов

$a в квадрате = левая круглая скобка a плюс d правая круглая скобка в квадрате плюс левая круглая скобка a минус d правая круглая скобка в квадрате минус a в квадрате минус левая круглая скобка a в квадрате минус d в квадрате правая круглая скобка ,$

откуда $d=0.$

б)  Решение очевидно, если использовать такое «геометрически очевидное» утверждение. Если $a_1 меньше или равно a_2\leqslant\ldots меньше или равно a_n$ и $\sum_i=1 в степени левая круглая скобка n минус 1 правая круглая скобка a_i больше или равно a_n,$ то существует замкнутая выпуклая ломаная, длины звеньев которой равны a_i. Попробуйте дать какое-нибудь обоснование этого утверждения.

в)  Квадраты и только они. Нетрудно видеть, что если углы четырехугольника образуют арифметическую прогрессию, то он  — трапеция. Далее, если и длины его сторон образуют арифметическую прогрессию, то $KD=|CD минус CK|$ (обозначения на рисунке; отрезок CK параллелен стороне AB), откуда следует, что $K=D,$ т. е. этот четырехугольник является прямоугольником.

Ответ: а)  равностронние треугольники; б)  да, верно; в)  квадраты.

Критерии проверки:

За каждый из четырех пунктов сюжета выставляется одна из следующих оценок:
+ (3 балла), ± (2 балла), ∓ (1 балл), − (0 баллов)
Максимум за сюжет 12 баллов. При этом необходимо руководствоваться следующим.
Критерии оценивания выполнения заданий Баллы

Верное и полное выполнение задания 3
Ход решения верный, решение доведено до ответа, но допущен один недочет 2
Ход решения верный, решение доведено до ответа, но допущено два недочета или одна грубая ошибка 1
Остальные случаи 0

К недочетам относятся, например: описки, неточности в использовании математической символики; погрешности на рисунках, недостаточно полные обоснования; неточности в логике рассуждений при сравнении чисел, доказательстве тождеств или неравенств; вычислительные ошибки, не повлиявшие принципиально на ход решения и не упростившие задачу, если задача не являлась вычислительной; замена строго знака неравенства нестрогим или наоборот; неверное присоединение либо исключение граничной точки из промежутка монотонности и аналогичные.
Грубыми ошибками являются, например: потеря или приобретение постороннего корня; неверный отбор решения на промежутке при правильном решении в общем виде; вычислительная ошибка в задаче на вычисление; неверное изменение знака неравенства при умножении на отрицательное число, логарифмировании или потенцировании и т. п.

№ п/п	№ задания	Ответ
1	1018	а)  равностронние треугольники; б)  да, верно; в)  квадраты.

Критерии оценивания выполнения заданий	Баллы
За каждый из четырех пунктов сюжета выставляется одна из следующих оценок: + (3 балла), ± (2 балла), ∓ (1 балл), − (0 баллов) Максимум за сюжет 12 баллов. При этом необходимо руководствоваться следующим.
Верное и полное выполнение задания	3
Ход решения верный, решение доведено до ответа, но допущен один недочет	2
Ход решения верный, решение доведено до ответа, но допущено два недочета или одна грубая ошибка	1
Остальные случаи	0
К недочетам относятся, например: описки, неточности в использовании математической символики; погрешности на рисунках, недостаточно полные обоснования; неточности в логике рассуждений при сравнении чисел, доказательстве тождеств или неравенств; вычислительные ошибки, не повлиявшие принципиально на ход решения и не упростившие задачу, если задача не являлась вычислительной; замена строго знака неравенства нестрогим или наоборот; неверное присоединение либо исключение граничной точки из промежутка монотонности и аналогичные. Грубыми ошибками являются, например: потеря или приобретение постороннего корня; неверный отбор решения на промежутке при правильном решении в общем виде; вычислительная ошибка в задаче на вычисление; неверное изменение знака неравенства при умножении на отрицательное число, логарифмировании или потенцировании и т. п.

Ключ