PDF-версии: 
а) Нарисуйте график функции 
б) Решите уравнение 
в) Решите неравенство 
г) Для того, чтобы обеспечить себя в старости, Джон открыл счет в банке и решил ежегодно вносить на 
Решение. а) См. рисунок
б) Возводя уравнение в квадрат, получим
Теперь нужно выбрать из этих ответов только те, для которых 
Например для 
нужно выбирать только четные k, 
аналогично и для 
нужно выбирать четные k.
в) Перепишем неравенство в виде 
Построим сначала график функции 
отразим его относительно вертикальной оси (получим график 
), сдвинем вправо на 
(получим график 
) и вниз на 
Теперь рассмотрим прямые, проходящие через начало координат и выясним, при каких x точка на прямой лежит выше соответствующей точки на графике или совпадает с ней. Пусть для начала a сильно отрицательное число. Тогда, очевидно, ответом будет 
Будем теперь увеличивать a. Ситуация будет меняться следующим образом. При некотором 
прямая пройдет через точку 
и к ответу добавится 
Затем прямая будет пересекать обе ветви графика и появится еще небольшой отрезок между точками пересечения. Затем при некотором 
прямая коснется левой ветви графика и ответом будут все x до точки пересечения с правой ветвью. Затем появится вторая точка пересечения с левой ветвью а ответом будут все x левее этой точки и все от 0 до точки пересечения с правой ветвью.
Это будет продолжаться, пока a не станет нулем и первый промежуток не пропадет. Затем a станет положительно. 
подходить уже не будут, зато появится вторая точка пересечения с правой ветвью и к ответу добавятся все точки правее этой точки пересечения.
Это будет продолжаться, пока прямая не станет касательной к правой ветви при некотором 
С этого момента будут подходить все 
Осталось найти все эти точки пересечения и определить конкретные значения 
Решим уравнение 
для поиска точек пересечения с левой ветвью, получим
Иногда этот корень будет посторонним, но нам это неважно, поскольку мы уже определили по рисунку ситуации, когда он будет на самом деле.
Решим уравнение 
для поиска точек пересечения с правой ветвью, тогда
Из этих двух корней иногда нужен только один — тогда это меньший корень, 
Второй соответствует пересечению с нижней ветвью параболы 
которая не относится к графику (на рисунке показана пунктиром) можно найти из уравнения 
откуда 
и равно угловому коэффициенту касательной к линии 
в точке 
то есть производной от данной функции в точке 
Решим
что при 
дает 
Наконец 
должно быть таким положительным числом, при котором склеиваются точки пересечения прямой с правой ветвью графика, откуда
Поскольку 
следует выбрать 
Теперь можно написать ответ.
При 
При 
При 
При 
При 
При 
При 
При 
г) На первые его 2 000 банк начислит проценты 26 раз, на вторые −25 и так далее, поэтому общий размер его вклада составит
Если вычесть из этой суммы 20000 долларов и потом начислить на остаток 
то вклад составит
и нужно сравнить это число с предыдущим остатком по вкладу. Докажем, что оно больше, тогда он сможет жить на проценты с вклада. Сравним
Заметим, что
поэтому
Знание 
не пригодилось. Чтобы его нормально использовать, нужно, кажется, тратить по 18 тысяч. Тогда надо будет доказывать, что 
что верно поскольку 
Ответ:
б) 
в) 
при 
при 
при 
при 
при 
при 
где 
г) да, достаточно.
| За каждый из четырех пунктов сюжета выставляется одна из следующих оценок: + (3 балла), ± (2 балла), ∓ (1 балл), − (0 баллов) Максимум за сюжет 12 баллов. При этом необходимо руководствоваться следующим. | |
| Критерии оценивания выполнения заданий | Баллы |
|---|---|
| Верное и полное выполнение задания | 3 |
| Ход решения верный, решение доведено до ответа, но допущен один недочет | 2 |
| Ход решения верный, решение доведено до ответа, но допущено два недочета или одна грубая ошибка | 1 |
| Остальные случаи | 0 |
| К недочетам относятся, например: описки, неточности в использовании математической символики; погрешности на рисунках, недостаточно полные обоснования; неточности в логике рассуждений при сравнении чисел, доказательстве тождеств или неравенств; вычислительные ошибки, не повлиявшие принципиально на ход решения и не упростившие задачу, если задача не являлась вычислительной; замена строго знака неравенства нестрогим или наоборот; неверное присоединение либо исключение граничной точки из промежутка монотонности и аналогичные. Грубыми ошибками являются, например: потеря или приобретение постороннего корня; неверный отбор решения на промежутке при правильном решении в общем виде; вычислительная ошибка в задаче на вычисление; неверное изменение знака неравенства при умножении на отрицательное число, логарифмировании или потенцировании и т. п. | |
б)
в) при при при при при при где
г) да, достаточно.
б)
в) при при при при при при где
г) да, достаточно.