а) Какое из чисел больше, или
б) Представьте число 1997 в виде суммы нескольких натуральных слагаемых с максимально возможным произведением.
в) Докажите, что произведение нескольких положительных чисел, сумма которых равна 1997, не превосходит
Решение. а) Преобразуем исходное выражение поэтому второе число больше.
Ответ:
б) Число 1997 есть сумма одной двойки и 665 троек, таким образом максимальное значение произведения равно Идея рассуждения: если где то (докажите это). Поэтому произведение в котором хотя бы одно из чисел ni больше четырех, не может быть наибольшим. Так как то четверки можно из рассмотрения исключить. Таким образом, наибольшее произведение натуральных чисел с заданной суммой следует искать среди произведений двоек и троек. Осталось заметить, что в силу утверждения предыдущего пункта двоек должно быть как можно меньше.
в) Из неравенства Коши
следует, что произведение k положительных чисел, сумма которых равна 1997, не превосходит которое, в свою очередь, не превосходит наибольшего значения функции (при ). Дифференцируя, получаем
следовательно, наибольшее значение функции f, которое достигается при равно (здесь мы воспользовались тем, что ).
За каждый из четырех пунктов сюжета выставляется одна из следующих оценок: + (3 балла), ± (2 балла), ∓ (1 балл), − (0 баллов) Максимум за сюжет 12 баллов. При этом необходимо руководствоваться следующим. | |
Критерии оценивания выполнения заданий | Баллы |
---|---|
Верное и полное выполнение задания | 3 |
Ход решения верный, решение доведено до ответа, но допущен один недочет | 2 |
Ход решения верный, решение доведено до ответа, но допущено два недочета или одна грубая ошибка | 1 |
Остальные случаи | 0 |
К недочетам относятся, например: описки, неточности в использовании математической символики; погрешности на рисунках, недостаточно полные обоснования; неточности в логике рассуждений при сравнении чисел, доказательстве тождеств или неравенств; вычислительные ошибки, не повлиявшие принципиально на ход решения и не упростившие задачу, если задача не являлась вычислительной; замена строго знака неравенства нестрогим или наоборот; неверное присоединение либо исключение граничной точки из промежутка монотонности и аналогичные. Грубыми ошибками являются, например: потеря или приобретение постороннего корня; неверный отбор решения на промежутке при правильном решении в общем виде; вычислительная ошибка в задаче на вычисление; неверное изменение знака неравенства при умножении на отрицательное число, логарифмировании или потенцировании и т. п. |